Xác Định Tâm Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó (hay ta còn nói tam giác ngoại tiếp đường tròn).
Bạn đang xem: Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Trong bài viết dưới đây all4kids.edu.vn xin giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô toàn bộ kiến thức về tâm đường tròn nội tiếp tam giác như: khái niệm, cách xác định, bán kính đường tròn, các dạng bài tập và một số bài tập có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu về tâm đường tròn nội tiếp tam giác các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức, làm quen với các dạng bài tập để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì 1 Toán 9.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác
1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là khi ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác.
2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Để xác định được không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết.
Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác.
- Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C
+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác
+ Bước 2 : Tính tỉ số
+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F
+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE
+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE
- Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:
3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Tam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB.
- Nửa chu vi tam giác
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
- Nhắc lại:
+ Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R:
+ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho tam giác ABC có
- Cách 1:
+ Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B
+ Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
+ Viết phương trình đường tròn
- Cách 2:
+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
+ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A
+ Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức
+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
+ Viết phương trình đường tròn
5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .
Giải:
Ta có
Do đó:
Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải:
Ta có,
Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0
Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0
Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:
Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
Vậy tọa độ I(10,0)
Bán kính đường tròn nội tiếp: r=d(I,AB)=5
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng?
Hướng dẫn
- Chu vi tam giác ABC: p = 9.
- Bán kính:
Ví dụ 3: Cho ba điểm có tọa độ như sau: A(-2; 3);
6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác
Bài 1
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
Vẽ hình minh họa
a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH
Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 2
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
GIẢI
Vẽ hình
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b) Gọi A";B";C" lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA";BB";CC" của tam giác đều ABC).
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.
Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Xem thêm: Hướng Dẫn Trộn Mồi Câu Cá Rô Đồng Hiệu Quả Nhất, Nhạy Nhất, Nhạy Nhất
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính AA":
GIẢI
Xét tam giác AA"C vuông tại A" có AC=3;
Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.
Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A", B", C" của các cạnh.
Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.
Ta có:
d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).
Bài 3
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
GIẢI
a) Xét đường tròn (O) ta có:
Từ (1) và (2) có:
Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và
b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
Vậy
c) Vì
=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.
Vì sđ
Kẻ
Tứ giác ABCD là hình thang cân
Lại có
Xét
Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).
Bài 4
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
GIẢI
Vẽ hình:
+) Hình a.
Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung
Tính bán kính:
Gọi
+) Hình b.
Cách vẽ:
+ Vẽ đường kính
+ Vẽ đường kính
Tứ giác
Nối
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.
Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông
+) Hình c:
Cách vẽ như câu a) hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.
Trong tam giác vuông
Từ đó
Bài tập 5: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Giải
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Theo hê - rông, diện tích tam giác MNP Ià:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:
Bài 5:
Cho tam giác MNP đều cạnh 2a, Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích tam giác đều MNP là:
S = ½ MN.MP.sinM
= ½ .2a.2a.sin60o
= a2√3
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Bài 6
Cho tam giác ABC biết AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là:
Bài 7
Cho △ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB FD = BE (đpcm).
7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Bài tập 1. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC.
ĐS: J(1;0)
Bài tập 2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(-15/2; 2), B(12; 15)và C(0; -3). Tìm tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xem thêm: Tổng Hợp Nhạc Giáng Sinh Hay Nhất Mọi Thời Đại, Những Ca Khúc Giáng Sinh Hay Nhất
Đáp số J(-1;2)
Bài tập 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3;–1), B(1;5) và C(6;0). Gọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC Hãy tìm A’.
