Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn

     

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức và kỹ năng mà những em học ở ngay chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng hay xuyên xuất hiện thêm trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn


Có các dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong bài viết này bọn họ tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó áp dụng giải một trong những bài tập về phương trình đựng căn thức để rèn luyện năng lực giải toán.


I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ lúc giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ cách 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x vừa lòng điều kiện

* lấy ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt bao gồm nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta gồm (ở bày này ta có thể rút gọn gàng hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x bắt buộc pt xác định với đầy đủ giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- khi ấy bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa điều kiện này, buộc phải ta KHÔNG dấn nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) ngôi trường hợp:  (*) thì ta đề nghị kiểm tra biểu thức f(x).

+) trường hợp f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện quá trình sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng giải pháp phân tích thành nhân tử mang lại pt tích).

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 cần ta có:

 

*

 

*
 
*

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)2 nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x đề nghị biểu thức khẳng định với các giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình gồm 2 nghiệm x = -1 cùng x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*

* phương pháp giải:

- cách 1: Viết đk của phương trình: 

*

- cách 2: dấn dạng từng loại tương ứng với những cách giải sau:

 ¤ các loại 1: ví như f(x) tất cả dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn mang về phương trình trị tuyệt đối để giải.

 ¤ một số loại 2: nếu như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ loại 3: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 4: nếu f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so với f(x) với g(x) thành nhân tử, nếu như chúng bác ái tử tầm thường thì để nhân tử chung đem lại phương trình tích.

- bước 3: soát sổ nghiệm kiếm được có thỏa mãn điều khiếu nại không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Top 29 Bài Thuyết Minh Về Chiếc Nón Lá Hay Nhất (Dàn Ý, Top 29 Bài Thuyết Minh Về Chiếc Nón Lá Siêu Hay

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhấn nghiệm này.

- Phương trình gồm nghiệm x = 2.

* lấy ví dụ 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không tồn tại dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế buộc phải là dạng hàm bậc 1) phải để khử căn ta dùng cách thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi kia ta bình phương 2 vế được:

*

*

- kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều khiếu nại không bằng cách thay quý giá này vào các biểu thức điều kiện thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện quá trình sau:

- cách 1: Nếu f(x) và h(x) bao gồm chứa căn thì đề nghị có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét lốt trị tuyệt đối hoàn hảo (khử trị hay đối) nhằm giải phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- mặt khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét các trường hợp nhằm phá vệt trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- dìm thấy: 

*

*

- Đến đây xét những trường thích hợp giải tựa như ví dụ 1 nghỉ ngơi trên.

4. Biện pháp giải một số phương trình đựng căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình đựng dấu căn.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi đó ta gồm pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t phần đa thỏa điều kiện nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em vẫn học làm việc nội dung bài bác chương sau).

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) gồm dạng làm việc mục 2) các loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 cần ta có:

*

→ Phương trình gồm nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi đó pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- bình chọn thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt có 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm:

ii) cách thức đánh giá chỉ biểu thức dưới vết căn (lớn hơn hoặc nhỏ tuổi hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng cùng với phương trình chứa căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT hoàn toàn có thể cho ngay dạng này hoặc có thể bóc một hệ số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;