Nguyên hàm là 1 trong trong mỗi mục chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong những kì thi đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nào là cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và lần làm rõ rộng lớn về bảng công thức nguyên vẹn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm thông dụng qua quýt nội dung bài viết sau đây.
Bạn đang xem: nguyên hàm u
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Nguyên hàm là gì?
Trước khi, chuồn sâu sắc vô lần hiểu công thức về nguyên vẹn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa nguyên vẹn hàm cũng tựa như các đặc thù và lăm le lý tương quan.
Định nghĩa nguyên vẹn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện tại hàm số F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K rất có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý nguyên vẹn hàm
3 lăm le lý của nguyên vẹn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 trong nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong nguyên vẹn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 trong nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) thì từng nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 trong hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải sở hữu nguyên vẹn hàm.
Tính hóa học nguyên vẹn hàm
3 đặc thù cơ bạn dạng của nguyên vẹn hàm được thể hiện nay như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu nguyên vẹn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên vẹn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên vẹn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng nguyên vẹn hàm đều phải sở hữu những công thức riêng biệt. Những công thức này đã và đang được tổ hợp trở nên những bảng sau đây nhằm những em dễ dàng và đơn giản phân loại, ghi lưu giữ và vận dụng đúng đắn.
Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản
Bảng công thức nguyên vẹn hàm hé rộng
Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao
Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài bác tập luyện nguyên vẹn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi đổi thay số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần phải nắm rõ cách thức này nhằm giải những câu hỏi nguyên vẹn hàm nhanh chóng và đúng đắn rộng lớn.
Phương pháp thay đổi đổi thay loại 1:
Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.
Sau cơ, thay đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi đổi thay loại 2: Khi đề bài bác mang lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 trong hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện nay đổi thay đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết thay đổi tích phân trước tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp bám theo, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán ví dụ nhưng mà những em vận dụng cách thức sao mang lại tương thích.
Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập luyện về công thức nguyên vẹn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm nguyên vẹn hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần là gì? Đưa đi ra ví dụ minh họa mang lại phương pháp tính đang được nêu.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D khi Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, khi cơ tớ sở hữu công thức:
Xem thêm: trường hợp nào dưới đây không phải là tên biến trong pascal
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=e^xdx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=e^x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C \end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ ví dụ.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi cơ, tích phân cần thiết lần là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số đang được mang lại bên dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}
d. Với bài bác tập luyện này, những em rất có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên vẹn hàm mang lại từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn rất có thể dùng cơ hội đặt điều ẩn phụ nhằm giải lần nguyên vẹn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một trong những nguyên vẹn hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số nguyên vẹn a và b thỏa mãn
\begin{aligned} & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb \end{aligned}
Hãy tính tổng P.. = a + b
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=lnx \\ dv=(2x+1)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=\frac1xdx \\ v=x^2 +x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } \\ & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx \\ & \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx \\ & \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx \\ & \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1 \\ & \small = 6ln2 - (4 - \frac32) \\ & \small = -4 + \frac32 + ln64 \\ & \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. P.. = a + b = 60.} \end{aligned}
Đề thi đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài bác tập:
Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned} & \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: } \\ & \small K = \intop_0^3 xf(x)dx \\ & \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1) \\ & \small = \intop_3^0 F(n)dn \\ & \small =1 \\ & \small \text{Kế tiếp, tớ đặt điều } \begin{cases} u=x \\ dv=f(x)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=F(x) \end{cases} \\ & \small \text{Lúc đó: } \\ & \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education đang được share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về nguyên vẹn hàm, bàng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức nguyên vẹn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và chung áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác tập luyện một cơ hội nhanh gọn.
Hãy tương tác ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: các thế mạnh chủ yếu của đồng bằng sông cửu long là
Bình luận