hệ thức lượng tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

Bạn đang xem: hệ thức lượng tam giác

Quảng cáo

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì thế tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ lên đường nhì đợt tích của nhì cạnh cơ nhân với \(cosin\) của góc xen đằm thắm bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của toan lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) với những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là chừng nhiều năm những lối trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số đằm thắm một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vì thế 2 lần bán kính của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

Xem thêm: sơ xuất hay sơ suất

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem bám theo một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp, bk lối tròn xoe nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Lúc tiếp tục biết một số trong những nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết dò thám côn trùng tương tác Một trong những góc, cạnh tiếp tục cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: Có 3 câu hỏi cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau cơ người sử dụng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với câu hỏi này tớ dùng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: tính bằng cách thuận tiện nhất lớp 5

1. Cần chú ý là 1 trong tam giác giải được Lúc tớ biết 3 nhân tố của chính nó, vô cơ nên với tối thiểu một nhân tố chừng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những câu hỏi thực tiễn, nhất là những câu hỏi đo lường.