CÔNG THỨC TÍNH NHANH NGUYÊN HÀM

     
Tổng hợp tất cả các cách làm tính nhanh thường được sử dụng chương Nguyên hàm với tích phân tạo ra tại all4kids.edu.vn
*

A - TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH TÍCH PHÂN

DẠNG 1: TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN DỰA TRÊN CẬN VÀ PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ

A – với $y=f(x)$ là hàm thường xuyên trên đoạn $,$ ta gồm $intlimits_a^bf(x)dx=intlimits_a^bf(a+b-x)dx,$ phép đổi phát triển thành $x=a+b-t.$

Do đó $I=intlimits_a^bf(x)dx=intlimits_a^bf(a+b-x)dx=dfrac1m+nintlimits_a^bleft< mf(x)+nf(a+b-x) ight>dx.$

B – với $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn $<-a;a>,$ tức $f(-x)=-f(x),$ ta bao gồm

$left{ eginarrayl intlimits_ - a^0 f(x)dx = - intlimits_0^a f(x)dx \ intlimits_ - a^a f(x)dx = 0 endarray ight..$

Chứng minh:

Đổi thay đổi $x=-tRightarrow dx=-dt;x=-aRightarrow t=a;x=0Rightarrow t=0$ khi đó

$intlimits_-a^0f(x)dx=intlimits_a^0f(-t)(-dt)=intlimits_0^af(-t)dt=intlimits_0^a-f(t)dt=-intlimits_0^af(x)dxleft( f(-x)=-f(x) ight).$

và $intlimits_-a^af(x)dx=intlimits_-a^0f(x)dx+intlimits_0^af(x)dx=0.$

C – với $f(x)$ là hàm chẵn, liên tiếp trên đoạn $<-a;a>,$ tức $f(-x)=f(x),$ ta tất cả

$left{ eginarrayl intlimits_ - a^0 f(x)dx = intlimits_0^a f(x)dx = frac12intlimits_ - a^a f(x)dx \ intlimits_ - a^a fracf(x)1 + b^xdx = frac12intlimits_ - a^a f(x)dx = intlimits_0^a f(x)dx = intlimits_ - a^0 f(x)dx endarray ight..$

Chứng minh:

Đổi biến hóa $x=-tRightarrow dx=-dt;x=-aRightarrow t=a;x=0Rightarrow t=0$ khi đó

$intlimits_-a^0f(x)dx=intlimits_a^0f(-t)(-dt)=intlimits_0^af(-t)dt=intlimits_0^af(t)dt=intlimits_0^af(x)dxleft( f(-t)=f(t) ight)$

và $intlimits_-a^af(x)dx=intlimits_-a^0f(x)dx+intlimits_0^af(x)dx=2intlimits_-a^0f(x)dx=2intlimits_0^af(x)dx.$

Xét khi đó theo đặc điểm tích phân dựa vào phép đổi vươn lên là có:

<eginarrayc intlimits_ - a^a g(x)dx = frac12intlimits_ - a^a left< g(x) + g( - x) ight>dx = frac12intlimits_ - a^a left( fracf(x)1 + b^x + fracf( - x)1 + b^ - x ight)dx \ = frac12intlimits_ - a^a left( fracf(x)1 + b^x + fracf(x)1 + b^ - x ight)dx = frac12intlimits_ - a^a left( fracf(x)1 + b^x + fracb^xf(x)1 + b^x ight)dx \ = frac12intlimits_ - a^a f(x)dx left( f( - x) = f(x) ight). endarray>

D – cùng với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $T,$ liên tục trên $mathbbR$ tức $f(x+T)=f(x),$ ta có

$left{ egingathered intlimits_0^nT f(x)dx = nintlimits_0^T f(x)dx hfill \ intlimits_0^T f(x)dx = intlimits_a^a + T f(x)dx ,forall a in mathbbR hfill \ endgathered ight..$

Chứng minh:

Tách tích phân

Đổi đổi mới

Khi đó

Vậy

Tính hóa học tiếp theo bóc thành tổng các tích phân:

Đổi đổi thay

Khi kia

Suy ra điều phải chứng minh.

DẠNG 2: $intlimits_a^bmax left f(x),g(x) ightdx$ và $intlimits_a^bmin left f(x),g(x) ightdx.$

$intlimits_a^bmax left f(x),g(x) ightdx=intlimits_a^bfracf(x)+g(x)+left2dx;$$intlimits_a^bmin left f(x),g(x) ightdx=intlimits_a^bfracf(x)+g(x)-left2dx.$

B - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ

Tuyển tập Đề thi test Toán THPT đất nước 2020 có giải thuật chi tiết
*

Ngay sau khi BGD chào làng đề xem thêm THPT giang sơn 2020 Môn Toán all4kids.edu.vn sẽ update đề thi kèm lời giải chi tiết bằng video + text tức thì tại bài viết này.

Các thông tin hữu ích liên quan: