CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP

     

1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt ước nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.

Bạn đang xem: Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp

2. Điều kiện để một hình chóp đỉnh S có hình mong nội tiếp trọng tâm I là trên dưới mặt đáy có một điểm M bí quyết đều tất cả các mặt mặt của hình chóp và khi ấy I nằm trên đoạn SM.

3. Trung ương hình mong nội tiếp giải pháp đều toàn bộ các mặt của hình chóp vào nằm trong phân giác của góc nhị diện tạo vày hai khía cạnh kề nhau của hình chóp.

4. Nếu như một khối đa diện tất cả hình cầu nội tiếp thì nửa đường kính của nó được tính theo công thức:

$r=frac3VS_tp$ , V: thể tích khối nhiều diện;

$S_tp$ diện tích s toàn phần khối nhiều diện.

B. Bài xích tập

Bài 1. Trong phương diện phẳng (P) cho hình thang ABCD cân, lòng là AB cùng CD nước ngoài tiếp mặt đường tròn (C) trọng điểm O, bán kính R. Trên phố thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại O, rước điểm S thế nào cho OS = 2R. Giả sử CD = 4AB.

a) Tính diện tích toàn phần với thể tích của hình chóp SABCD.

b) minh chứng rằng O phương pháp đều 4 mặt bên của hình chóp SABCD. Từ kia tìm trung khu và bán kính hình mong nội tiếp hình chóp.

Giải

*

a) Hình thang ABCD có các cạnh xúc tiếp với mặt đường tròn trên M, N, P, Q. (Hình vẽ bên)

Đặt AB = 2x $Rightarrow $ CD = 8x $Rightarrow $AD = 5x

Ta có $AD^2=AAprime ^2+DAprime ^2$ (A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A lên CD)

$Rightarrow x=fracR2$

$Rightarrow SM=sqrtSO^2+OM^2=sqrt4R^2+R^2=Rsqrt5$

Do những mặt mặt của hình chóp là các tam giác gồm đường cao bằng $Rsqrt5$ yêu cầu ta có:

= $frac12$SM.(AB + BC + CD + DA) + $frac12$(AB + CD).NQ

= $frac12$.$Rsqrt5$.10R + $frac12$5R.2R

$Leftrightarrow S_tp=5R^2left( 1+sqrt5 ight)$

$V=frac13Bh=frac13.5R^2.2RLeftrightarrow V=frac10R^33$

b) khoảng cách từ O mang lại 4 mặt bên chính là độ lâu năm của 4 mặt đường cao bắt nguồn từ O của tam giác vuông và cân nhau SOM, SON, SOP, SOQ. Suy ra O giải pháp đều 4 mặt mặt của hình chóp.

Vậy hình chóp có mặt cầu nội tiếp tâm I nằm trên đoạn SO. Vì I biện pháp đều 2 phương diện (SAD) với (ABCD) cần I là nằm tại phân giác của góc vào tam giác SMO.

Gọi r là nửa đường kính mặt cầu nội tiếp thì:

$r=frac3VS_tp=frac10R^35R^2left( 1+sqrt5 ight)Leftrightarrow r=fracRleft( sqrt5-1 ight)2$

Bài 2. đến tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích s mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) minh chứng rằng gồm một mặt mong nội tiếp tứ diện.

Xem thêm: Wendy Thảo Bỡ Ngỡ Với Lần Đầu Biết Yêu Trong "Làm Người Yêu Em Nhé Baby" Phiên Bản Anime Dễ Thương Orange

Giải

a) điện thoại tư vấn I, J là trung điểm của AB và CD.

Ta tất cả IJ$ot $AB, IJ$ot $CD.

Gọi O là trung điểm IJ thì ta gồm OA = OB cùng OC = OD, trong khi AB = CD = c cần hai tam giác vuông OIB cùng OJC cân nhau nên: OA = OB = OC = OD = R. Vậy O cách đều 4 đỉnh A, B, C, D

*

$Rightarrow $ Mặt ước ngoại tiếp tứ diện ABCD bao gồm $R^2=OA^2=OI^2+AI^2=fracIJ^2+c^24$

Vì CI là trung con đường $Delta $ABC nên: $CI^2=frac2a^2+2b^2-c^24$

Suy ra $IJ^2=CI^2-CJ^2=fraca^2+b^2-c^22$

Như vậy $R^2=OA^2=fraca^2+b^2+c^28$ và mặc tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S=4pi R^2=fracpi 2left( a^2+b^2+c^2 ight)$

b) những mặt của tứ diện là những tam giác đều nhau nên những đường tròn ngoại tiếp các tam giác kia có nửa đường kính r bởi nhau. Các đường tròn đó đều nằm bên trên mặt ước (O; R) nên khoảng cách từ O đến các mặt phẳng chứa các đường tròn đó đều nhau và bằng: h =$sqrtR^2-r^2$ .

Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt mong nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài 3. đến tứ diện OABC trong những số ấy OA, OB, OC đương đầu vuông góc với nhau. Kẻ con đường cao OH = h. Call r là nửa đường kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Tìm giá trị lớn số 1 của $frachr$ .

Giải

*

Đặt OA = a, OB = b, OC = c.

Ta gồm : $frac1h^2=frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2$ (1) với $r=frac3VS_tpRightarrow frac1r=fracS_tp3V$

Mà $fracS_tp3V=fracS_Delta OAB+S_Delta OBC+S_Delta OAC+S_Delta ABC3V=frac1a+frac1b+frac1c+frac1h$

$Rightarrow frac1r=frac1a+frac1b+frac1c+frac1hLeftrightarrow frac1r-frac1h=frac1a+frac1b+frac1c$ (2)

Ta lại có: $left( frac1a+frac1b+frac1c ight)^2le 3left( frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2 ight)$ (3)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.

Từ (1) cùng (3) (4)

Từ (2) cùng (4) $Rightarrow frac1r-frac1hle fracsqrt3hLeftrightarrow frac1rle frac1hleft( 1+sqrt3 ight)Leftrightarrow frachrle 1+sqrt3$

Suy ra $frachr$ lớn số 1 $=1+sqrt3Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $frachr$ max là $1+sqrt3$ khi OA = OB = OC.

Bài 4. Mang lại r, R lần lượt là nửa đường kính mặt mong nội tiếp cùng ngoại tiếp của một tứ diện có thể tích là V. Minh chứng rằng: $8R^2rge 3sqrt3V$

Giải

Gọi O, G thứu tự là trung khu mặt mong ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD. Đặt BC = a, AD = a’, CA = b, BD = b’, AB = c, CD = c’ cùng $S_a,S_b,S_c,S_d,S_tp$ thứu tự là diện tích các mặt đối diện với những đỉnh A, B, C, D và ăn mặc tích toàn phần của tứ diện.

Xem thêm: 4 Cách Nhận Biết Tinh Trùng Như Thế Nào Là Khỏe, Tinh Trùng Thế Nào Là Khỏe Mạnh

Ta có: $overrightarrowAB=overrightarrowOB-overrightarrowOARightarrow overrightarrowAB^2=2R^2-2overrightarrowOA.overrightarrowOBRightarrow 2.overrightarrowOA.overrightarrowOB=2R^2-AB^2$

Mặt không giống $4overrightarrowOG=overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD$ phải suy ra

$16OG^2=4R^2+left( 2R^2-AB^2 ight)+left( 2R^2-BC^2 ight)+left( 2R^2-CD^2 ight)+left( 2R^2-DA^2 ight)+left( 2R^2-DB^2 ight)+left( 2R^2-AC^2 ight)$$Leftrightarrow 16OG^2=4R^2+12R^2-left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 0$

$Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2le 16R^2$ (1)

Bổ đề: trong $Delta $ABC có những cạnh BC = a, AC = b, AD = c, S là diện tích tam giác thì:

$a^2+b^2+c^2ge 4Ssqrt3$

Thật vậy: $S=sqrtpleft( p-a ight)left( p-b ight)left( p-c ight)le sqrtp.left< fracp-a+p-b+p-c3 ight>^3$ (Theo bất đẳng thức Cô si) $Leftrightarrow Sle fracp^23sqrt3Leftrightarrow 3sqrt3Sle p^2Leftrightarrow 12sqrt3Sle left( a^2+b^2+c^2 ight)le 3left( a^2+b^2+c^2 ight)$

$Rightarrow a^2+b^2+c^2ge 4sqrt3S$

Áp dụng cho những mặt của tứ diện: $a^2+b^2+c^2ge 4S_dsqrt3$ và tương tự cho $S_a,S_b,S_c$.

Cộng lại ta được: $2left( a^2+b^2+c^2+aprime ^2+bprime ^2+cprime ^2 ight)ge 4sqrt3S_tp$ (2)

Từ (1) với (2) $Rightarrow 16R^2ge 2sqrt3S_tpLeftrightarrow 8R^2ge sqrt3S_tp$ (3)